Le bénéfice d'une entreprise est modélisé par \(P(x) = -2x^2 + 40x - 50\), où \(x\) est le nombre d'unités vendues. Quel est le bénéfice maximal ?

["Le Bénéfice Maximal d’une Entreprise Modélisé par la Fonction Quadratique (P(x) = -2x^2 + 40x - 50)", "Dans le domaine de la gestion d’entreprise, comprendre la modélisation mathématique du bénéfice permet d’optimiser les ventes et maximiser les revenus. L’entreprise dont le bénéfice est modélisé par la fonction (P(x) = -2x^2 + 40x - 50), où (x) représente le nombre d’unités vendues, peut découvrir son profit maximal grâce à une analyse simple du sommet d’une parabole.", "### Une Fonction Bénéfice Quadratique\nLa fonction (P(x) = -2x^2 + 40x - 50) est une fonction quadratique dont le coefficient du terme en (x^2) est négatif ((-2)), ce qui signifie que la courbe est orientée vers le bas. Ce type de fonction admet un maximum unique à son sommet, représentant ainsi le bénéfice le plus élevé atteignable.", "### Calcul du Bénéfice Maximal\nPour trouver la valeur maximale, on calcule l’abscisse du sommet de la parabole à l’aide de la formule :\n[\nx = -\frac{b}{2a}\n]\nAvec (a = -2) et (b = 40), on obtient :\n[\nx = -\frac{40}{2 \cdot (-2)} = -\frac{40}{-4} = 10\n]\nLe nombre d’unités vendues pour atteindre le maximum est donc (x = 10).\nEn substituant (x = 10) dans l’équation du bénéfice,\n[\nP(10) = -2(10)^2 + 40(10) - 50 = -2(100) + 400 - 50 = -200 + 400 - 50 = 150\n]\nLe bénéfice maximal est donc 150 unités monétaires.", "### Conclusion\nLa fonction (P(x) = -2x^2 + 40x - 50) montre clairement qu’une vente de 10 unités engendre le bénéfice maximal de 150 €. Cette analyse permet à toute entreprise de repérer la stratégie de vente optimale pour maximiser sa rentabilité, en utilisant un modèle mathématique simple mais puissant. Optimiser le volume de ventes est donc une clé essentielle pour le succès économique."]