Solución: Representamos los tiempos de llegada como números reales entre 0 y 60 minutos después de la 1:00 PM. Sea $ X $ el tiempo de llegada de Clara y $ Y $ el de Daniel. Tanto $ X $ como $ Y $ están distribuidos uniformemente en $[0, 60]$.

["Solución: Representación del tiempo de llegada en minutos tras la 1:00 PM – Un enfoque con variables aleatorias uniformes", "En muchos modelos probabilísticos relacionados con eventos puntuales, como la estimación de tiempos de llegada en sistemas de atención o transporte, resulta fundamental representar con precisión la distribución de los tiempos reales. En este artículo analizamos una situación sencilla pero instructiva: consideramos que los tiempos de llegada de dos personas, Clara y Daniel, se modelan mediante variables aleatorias $ X $ y $ Y $, ambas distribuidas uniformemente en el intervalo $[0, 60]$ minutos, donde el valor 0 corresponde a la 1:00 PM y 60 a la 2:00 PM.", "Definición formal", "Sea $ X \sim \ ext{Uniforme}(0, 60) $ el tiempo de llegada de Clara tras la 1:00 PM, y $ Y \sim \ ext{Uniforme}(0, 60) $ el tiempo de llegada de Daniel, con $ X $ y $ Y $ independientes entre sí.", "Nuestro objetivo es representar el tiempo de llegada de cada uno no como una cantidad discreta, sino como un número real dentro del rango $[0, 60]$, lo cual facilita el análisis probabilístico y permite aplicar herramientas del cálculo con variables continuas.", "---", "### Propiedades clave del modelo", "1. Distribución uniforme continua\n La distribución uniforme implica que cada minuto dentro del intervalo $[0, 60]$ tiene la misma probabilidad de ocurrir. La densidad de probabilidad conjunta de $ X $ y $ Y $ es:\n [\n f_{X,Y}(x, y) = \begin{cases} \n \frac{1}{60} \cdot \frac{1}{60} = \frac{1}{3600} & \ ext{para } 0 \leq x \leq 60, ; 0 \leq y \leq 60 \\n 0 & \ ext{en caso contrario}\n \end{cases}\n ]", "2. Interpretación geométrica\n Dado que $ X $ y $ Y $ son variables continuas, el par $(X, Y)$ puede visualizarse representado en un plano cartesiano, dentro del cuadrado de área $ 60 \ imes 60 = 3600 $. La probabilidad de que los tiempos caigan en una subregión es proporcional al área de dicha región. Por ejemplo, la probabilidad de que Clara llegue entre $ t_1 $ y $ t_2 $ es\n [\n P(t_1 \leq X \leq t_2) = \frac{t_2 - t_1}{60}, \quad 0 \leq t_1 < t_2 \leq 60.\n ]", "---", "### Tiempo relativo de llegada: $ T = |X - Y| $", "Uno de los conceptos útiles en análisis operacional es el tiempo de diferencia absoluta, $ T = |X - Y| $. Este refleja cuánto se adelanta o retrasa un corresponsable respecto al otro.", "Para calcular la probabilidad de que uno llegue antes que el otro, calculamos:\n[\nP(T \leq t) = P(|X - Y| \leq t) = \frac{2t}{60} - \frac{t^2}{1800} \quad \ ext{para } 0 \leq t \leq 60.\n]\nEsta expresión se deriva del cálculo de áreas bajo la línea $ |x - y| \leq t $ dentro del cuadrado $[0,60]^2$.\nAsí, $ T $ es una variable aleatoria continua con una distribución derivada del modelo uniforme.", "---", "### Expectativa y aplicación práctica", "La expectativa del tiempo de diferencia es:\n[\n\mathrm{E}[T] = \int_0^{60} P(T > t) , dt = \int_0^{60} \left(1 - P(T \leq t)\right) dt.\n]\nPara nuestro caso, $ \mathrm{E}[|X - Y|] = 60 \cdot \frac{2}{3} = 40 $ minutos. Esto indica que, promedio, una persona llega 40 minutos después de la otra, lo cual refleja un grado sustancial de variabilidad y随时随地 sincronización en tiempos de llegada distribuidos uniformemente.", "---", "### Conclusión", "Modelar los tiempos de llegada como variables reales uniformes en $[0,60]$ permite un tratamiento matemático riguroso y aplicable. Este enfoque facilita calcular probabilidades de eventos como retrasos, diferencias temporales y tiempos de espera, siendo especialmente útil en logística, sistemas de transporte, atención al cliente y simulaciones. Además, ayuda a evitar errores asociados con aproximaciones discretas, dotando de realismo a modelos probabilísticos cotidianos.", "---", "Palabras clave: distribución uniforme, variables aleatorias continuas, tiempo de llegada, modelos probabilísticos, expectativa matemática, tiempo relativo $ |X - Y| $, análisis operacional."]