Pregunta: Una caja contiene 5 bolas rojas y 7 bolas azules. Si se seleccionan 4 bolas al azar sin reemplazo, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente 2 sean rojas?

["# Probabilidad de Seleccionar Exactamente 2 Bolas Rojas al Extraer 4 Bolas de una Caja", "¿Te has preguntado cuál es la probabilidad de sacar exactamente 2 bolas rojas cuando se extraen 4 bolas al azar de una caja que contiene 5 bolas rojas y 7 bolas azules? Este problema es un ejemplo clásico de cálculo de probabilidades en situaciones sin reemplazo, ideal para entender técnicas de combinatoria y probabilidad en muestras finitas.", "## Escenario del Problema", "Imagina una caja que alberga un total de 12 bolas: 5 rojas y 7 azules. Se extraen 4 bolas al azar sin devolverlas al recipiente (es decir, sin reemplazo). Queremos calcular la probabilidad de que, entre las 4 bolas seleccionadas, exactamente 2 sean rojas y 2 sean azules.", "## ¿Por Qué Usar Combinaciones?", "Dado que el orden de extracción no importa, utilizamos combinaciones para contar las posibles formas de seleccionar bolas. La fórmula básica para la probabilidad es:", "[\nP(\ ext{evento}) = \frac{\ ext{número de resultados favorables}}{\ ext{número total de resultados posibles}}\n]", "### Paso 1: Total de formas de elegir 4 bolas de 12\nEl número total de combinaciones posibles al extraer 4 bolas de 12 es:", "[\n\binom{12}{4} = \frac{12!}{4!(12-4)!} = \frac{12!}{4! \cdot 8!} = 495\n]", "### Paso 2: Formas de elegir 2 bolas rojas y 2 bolas azules\n- Bolas rojas disponibles: 5 → elegimos 2:\n[\n\binom{5}{2} = \frac{5 \ imes 4}{2 \ imes 1} = 10\n]", "- Bolas azules disponibles: 7 → elegimos 2:\n[\n\binom{7}{2} = \frac{7 \ imes 6}{2 \ imes 1} = 21\n]", "El número total de formas favorables es el producto:", "[\n\binom{5}{2} \ imes \binom{7}{2} = 10 \ imes 21 = 210\n]", "## Cálculo de la Probabilidad", "Finalmente, la probabilidad de que exactamente 2 de las 4 bolas sean rojas es:", "[\nP(\ ext{2 rojas}) = \frac{210}{495} = \frac{14}{33} \approx 0.4242 \quad \ ext{o} \quad 42.42%\n]", "## Conclusión", "Este problema demuestra cómo calcular la probabilidad de un evento específico en un caso sin reemplazo usando combinaciones. Saber cuántas combinaciones existen permite determinar con precisión las posibilidades, sin importar el orden de selección.", "Resumen clave:\n- Total de bolas: 12 (5 rojas + 7 azules)\n- Extraemos: 4 bolas sin reemplazo\n- Resultado deseado: exactamente 2 rojas y 2 azules\n- Probabilidad = (combinaciones rojas × combinaciones azules) / combinaciones totales = ( \frac{210}{495} = \frac{14}{33} )", "¡Comprender estos conceptos fortalece tu base en probabilidad y estadística, esenciales tanto para estudios académicos como para aplicaciones prácticas en análisis de riesgos, juegos de azar y toma de decisiones!"]