Solución: Este es un problema de distribución hipergeométrica. Tenemos una población finita con dos grupos: 5 bolas rojas (éxitos) y 7 bolas azules (fallos), totalizando 12 bolas. Se extraen 4 bolas sin reemplazo.

["Solución: Este es un problema de distribución hipergeométrica", "Cuando estudiamos problemas de probabilidad relacionados con muestreo sin reemplazo en una población finita, la distribución hipergeométrica se convierte en la herramienta estadística ideal. En este artículo exploramos un caso clásico dentro de este contexto: el problema de extraer bolas de diferentes colores sin devolverlas, lo que corresponde a una distribución hipergeométrica.", "---", "### ¿Qué es la distribución hipergeométrica?", "La distribución hipergeométrica modela la probabilidad de obtener un número específico de “éxitos” al muestrear sin reemplazo de una población finita que contiene dos grupos distintos: éxitos (por ejemplo, bolas rojas) y fallos (bolas azules). A diferencia de la distribución binomial, que asume reemplazo y probabilidad constante, la hipergeométrica considera que cada extracción modifica el tamaño y composición de la población.", "---", "### Descripción del problema", "Tenemos una población finita compuesta por:\n- 5 bolas rojas: consideradas “éxitos”;\n- 7 bolas azules: consideradas “fallos”;\nen total, 12 bolas.\nSe extraen 4 bolas sin reemplazo, y queremos calcular la probabilidad de obtener un número determinado de bolas rojas entre las 4 extraídas.", "---", "### Aplicación del modelo hipergeométrico", "En este escenario, los parámetros de la distribución hipergeométrica son:\n- N = 12 (tamaño total de la población),\n- K = 5 (número de éxitos: bolas rojas),\n- n = 4 (tamaño de la muestra),\n- k (número de éxitos observados, que puede ser 0, 1, 2, 3 o 4).", "La probabilidad de obtener exactamente k éxitos se calcula con la fórmula:", "[\nP(X = k) = \frac{\binom{K}{k} \binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}\n]", "Donde (\binom{a}{b}) es el coeficiente binomial, que representa el número de formas de elegir (b) elementos de un conjunto de (a).", "---", "### Ejemplo práctico de cálculo", "Queremos, por ejemplo, calcular la probabilidad de extraer exactamente 2 bolas rojas ((k=2)):", "[\nP(X = 2) = \frac{\binom{5}{2} \binom{7}{2}}{\binom{12}{4}}\n]", "Calculamos cada término:\n- (\binom{5}{2} = \frac{5!}{2! \cdot 3!} = 10),\n- (\binom{7}{2} = \frac{7!}{2! \cdot 5!} = 21),\n- (\binom{12}{4} = \frac{12!}{4! \cdot 8!} = 495).", "Por lo tanto:", "[\nP(X = 2) = \frac{10 \cdot 21}{495} = \frac{210}{495} = \frac{14}{33} \approx 0.4242\n]", "De manera similar, se puede calcular la probabilidad para (k = 0, 1, 3, 4) para cubrir todos los casos posibles.", "---", "### ¿Por qué usar la distribución hipergeométrica y no la binomial?", "La clave está en el diseño del muestreo: sin reemplazo.\n- En el muestreo con reemplazo, cada extracción mantiene las mismas probabilidades (modelo binomial).\n- Pero al extraer 4 bolas sin devolverlas, la probabilidad de sacar una bola roja cambia tras cada extracción, lo que invalida la independencia entre ensayos asumida en la binomial.", "Por ello, la distribución hipergeométrica es el enfoque correcto para este tipo de problemas en poblaciones pequeñas y finitas.", "---", "### Aplicaciones reales", "Este modelo se usa en:\n- Diagnósticos médicos para calcular probabilidades de detectar pacientes con una enfermedad en una muestra limitada;\n- Control de calidad, por ejemplo, al verificar defectos en lotes de producción;\n- Estudios ecológicos para estimar presencia de especies en una población cerrada.", "---", "### Conclusión", "El problema de extraer bolas rojas y azules sin reemplazo es un ejemplo claro de aplicación de la distribución hipergeométrica. Comprender este modelo permite analizar con precisión fenómenos de muestreo finito, asegurando que probabilidades y estadísticas se calculen de forma adecuada, respetando las limitaciones del muestreo sin reposición.", "Si trabajas con poblaciones finitas y extracciones sin reemplazo, recuerda que la distribución hipergeométrica es tu estrategia estadística correcta para obtener resultados confiables.", "---", "Palabras clave SEO: distribución hipergeométrica, problema hipergeométrico, extracción sin reemplazo, población finita, probabilidad hipergeométrica, cálculo probabilidad exacta, estadística finita, ejemplos hipergeométricos."]